Temat: Przestrzen i podprzestrzen wektorowa

Co to w ogole jest na chlopski rozum? Jakie warunki muszą byc spelnione, zeby cos bylo przestrzenią lub podprzestrzenia? Czy podprzestrzen to zbior wszystkich wektorów, ktorych wspolrzedne znajdują sie w przestrzeni wektorowej?

Też bym się chętnie dowiedział :) Przestrzeń musi się chyba składać z liniowo niezależnych wektorów, czyli takich, dzieki którym będziemy mogli COŚ stworzyć xd typu u = (0,1), v = (1,0) i dzięki tym dwóm wektorom jest przestrzeń R^2 dwuwymiarowa... xd Tyle wiem ;d

Mnie się wydaję, że tego nawet na etrapezie nie było i musiałem jakoś inaczej kombinować z nauką.

no bo wlasnie nie ma, z tego co tam patrzylem w geometrii analitycznej to są tylko takie najprostsze dzialania na wektorach

a mi chodzi jak np sprawdzic cos czy jest podprzestrzenia czegos tam itp :p mialem ostatnio z tego kolosa z algebry liniowej i nabiłem 29/50 niby ale porobilem raczej zadania z wlasnie bazą bo to bylo zajebiscie opisane na etrapezie albo ze sprawdzaniem czy wektory sa ortogonalne, jakies iloczyny skalarne czy wartosci i wektory wlasne ;p ale sprawdzania przestrzeni i podprzestrzeni ani co to jest nadal nie czaje a w poniedzialek egzamin xd i tak jak Xijeq napisal to mniej wiecej potrafie sobie wyobrazic, ale mi to az tak nie jest potrzbene bo ja musze glownie zadania nakur****!!!!!!!!!!!

Coś jest przestrzenią liniową, jeżeli spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa wypisane tutaj.
Czyli sprawdzasz czy wszystkie zachodzą, jeżeli tak to jest to przestrzeń liniowa.

Coś jest podprzestrzenią liniową jeżeli spełnia aksjomaty podprzestrzeni liniowej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa
Czyli sprawdzasz czy 2 elementy pomnożone przez skalar i zsumowane nadal należą do podprzestrzeni liniowej.

Jakbyś dał jakieś konkretne zadanie to mogę pomóc.

aha, czyli mam sprawdzic dla tych 8 aksjomatów? ale wlasnie w notatkach mam tylko te 4 pierwsze (czy jest laczne, przemienne, ma element neutralny i czy ma element przeciwny) i czy konieczne jest uczenie sie ich wszystkich 8?


hmm to juz w sumie rozumiem, gorzej mysle ze i tak bedzie z rozpisaniem, sprobuje znalesc tylko jakis przyklad i go tutaj podam razem z moim rozwiazaniem i mnie moze troche nakierujesz, dzieki wielkie i tak!:)

BUMP:
odrazu takie zadanko z podprzestrzenią dla @Astaroth ; lub kogos kto da z tym radę:

Zbadać, czy zbiór U = {(x1,x2) należy do R^2: x1 + 2x2 = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej R^2.
tam ZA iksami te 1 i 2 to powinny być w indeksie dolnym

ok to mam takie coś, z tego moge wywnioskować ze x1 = -2x2, dalej moge zalozyc ze wektor bedzie wyglądał jakos tak - (-2x2, 2x2) a więc ma przeciwne hmm elementy? I w takim razie nie bedzie podprzestrzenią?

a faktycznie masz racje, ale skoro mam tylko jeden wektor to dalej musze stworzyc byle jaki wektor np (a,b) i pomnozyc go przez ten pierwszy, ktory mam?
czyli tak:
(2x_2, x_2) * (a, b) = a2x_2 + bx_2
ale co z tym mam zrobic dalej? jak sprawdzic czy to nalezy nadal do R^2?

@SedaN* ;

Aby twój zbiór U był podprzestrzenią liniową musisz sprawdzić aksjomaty podprzestrzeni liniowej, mianowicie:

Bierzesz dwa dowolne wektory ze zbioru U, które spełniają założenia tego zbioru. I rozpisujesz ( rozpiszę oba aksjomaty oddzielnie, będzie Ci łatwiej załapać)
1. Dodawania wektorów:
Weźmy v1=(x11,x12) i v2=(x21,x22) należące do U. Wynika z tego, że x11 + 2*x12 = 0 i x21 + 2*x22 = 0.
Weźmy teraz v1 + v2 = (x11 + x21 ; x12 + x22)
Teraz musimy sprawdzić, czy x11 + x21 + 2 * (x12 + x22) = 0.
v1 + v2 = (x11 + x12; x12 + x22) ==> x11 + x21 + 2*x12 + 2*x22 = 0 ==> x11 + 2*x12 + x12 + 2* x22 = 0 ==> (x11 + 2*x12) + (x12 + 2*x22) = 0 ==> (na mocy naszych założeń) 0 + 0 = 0. Więc dodawanie wektorów zachodzi.

Następne jest mnożenie przez skalar, weźmy jakieś 'a' należące do ciała K i wektor v1 = (x1,x2) i x1 + 2*x2 = 0 należący do U.
Sprawdzimy czy wektor pomnożony przez skalar nadal należy do U.

a*v1 = a(x1,x2) = (ax1, ax2) == > ax1 + 2*a*x2 = 0 ==> a*(x1+2*x2) = 0 ==> ( na mocy założeń i wiedząć, że dowolna liczba pomnożona przez zero daje zero) == > a*0=0 ==> 0=0.

Więc U jest podprzestrzenią liniową.

:o kompletnie nie wiedzialem czym jest ciało (nadal nie moge sobie tego wyobrazic i pojąć, jednak juz czaje co mam robic) oraz nie rozroznialem mnozenia przez skalar z iloczynem skalarnym, z ktorego dopiero wlasnie otrzymujemy dany skalar czyli liczbę
dzięki chlopaki, to juz czaje :)

a jeszcze co do przestrzeni wektorowej to jest tak:
jezeli spelnia takie aksjomaty :
łacznosc + element neutralny + element przeciwny to coś jest grupą
jezeli do tego jest przemienne to jest grupą abelową
a jak do tego spełnia warunki:
a*(x+y) = a*x + a*y
(a+b)*x = a*x + b*x
(a*b)*x = a*(b*x)
to jest przestrzenią wektorową wtedy? czy to co napisałem teraz to co to jest?