Wersja do druku
Czy jest jakaś metoda oprócz wyznacznikowej na uzmiennienie 2 stałych, bo w układzie równań z uzmiennonymi stałymi wychodzi pochodna równa 0 z tego co stoi przy c1'(x) .w dolnym układzie 0+c2'(x)*(-e^-x)
np. taki przykład: y" + y' = 1+3x^2
RJ:
CORJ: c1 + c2*e^-x
i układ równań:
c1'(x) + c2'(x)e^-x = 0
0 + c2'(x)*(-e^-x) = 1 + 3x^2
ale w tym zadaniu przecież spokojnie mozesz zrobic metodą przewidywań i nie męczysz się godzinę nad takim gownianym przykładem...
RJ: r^2 + r = 0
... cośtam wyjdzie
a później r(x) = 3x^2 + 1
czyli yp = Ax^2 + Bx + C ... jezeli któryś ze współczynników pokrywa Ci się z rozwiązaniem równania jednorodnego, to mnożysz przez x i wtedy masz Ax^3 + Bx^2 + Cx.
Liczysz potem yp' oraz yp" . Podstawiasz do pierwszego równania i masz wyliczone współczynniki oraz yp :D
A wiesz może jak rozwiązać metodą przewidywań rówanie:
y"+2y' = 1+3e^2x
według tego wzoru x^k * e^alfax*(w1*cos beta + w2*sin beta)
??
tak...
rozwiązujesz równanie jednorodne
y"+2y' = 0
czyli
r^2 + 2r = 0
r(r+2)= 0
r1 = 0 v r2 = -2
czyli mamy dwa rozwiązania
a jezeli mamy dwa rozwiązania to nie korzystamy z tego wzoru co podałeś (on jest do tego, gdy delta wyjdzie ujemna a tutaj ewidetnie mamy dodatnią)
tylko używamy C1*e^r1*x + C2*e^r2*x stad nasze
yj = C1 + C2*e^-2x
teraz nalezy zrobić met. przewidywań
prawa strona równania jest skomplikowana... tzn r(x) = 3e^2x + 1. Wniosek taki, że musimy to liczyć na dwa razy metodą przewidywań.
yp = yp1 + yp2
na początek
p1(x) = 3e^2x
czyli
yp1 = Ae^2x
yp1' = 2Ae^2x
yp1" = 4Ae^2x
wstawiasz to do równania pierwszego
4Ae^2x + 2*2Ae^2x = 3e^2x / obustronnie dzielisz przez e^2x
8A = 3
A = 3/8
i już masz że yp1 = 3/8e^2x
teraz druga część:
p2(x) = 1
yp2 = A / nie możesz tak zapisac, bo jak widzisz u góry w RJ wyszło Ci że stoi sama stała C1, dlatego tak jak pisałem wcześniej trzeba podnieść o stopień wyżej
wiec od nowa yp2 = A*x (sztucznie go dodajemy i na tym teraz liczymy)
yp2' = A
yp2" = 0
znów wrzucamy do pierwszego równania
0 + 2*A = 1
A = 1/2
yp2 = 1/2x
teraz Twoim rozwiązaniem jest y = yj + yp1 + yp2 tzn y = C1 + C2*e^-2x + 3/8e^2x + 1/2x