Jest ktoś w stanie policzyć maksima/minima lokalne funkcji dwóch zmiennych?
http://i48.tinypic.com/wiu13p.png
Wersja do druku
Jest ktoś w stanie policzyć maksima/minima lokalne funkcji dwóch zmiennych?
http://i48.tinypic.com/wiu13p.png
Liczysz pochodne cząstkowe po x i y, otrzymane funkcje fx' i fy' przyrównujesz do 0 i rozwiązujesz taki układ równań dostając punkty, które mogą być ekstremami, są to tzw. punkty stacjonarne. Następnie układasz macierz pochodnych drugiego rzędu, tzn. w pierwszej kolumnie macierzy kolejne pochodne drugiego rzędu po x, tj. d/dx(fx'), poniżej d/dx(fy'), itd. W kolejnej kolumnie to samo dla d/dy, tzn. u góry zaczynasz od d/dy(fx'), poniżej d/dy(fy') itd. Kolejne kolumny wg tego samego schematu. Podstawiasz do macierzy za swoje zmienne otrzymane punkty stacjonarne. Jeśli na przekątnej wszystkie wartości są dodatnie to punkt jest minimum, jeśli pierwsza liczba na przekątnej jest ujemna, kolejna dodatnia, kolejna ujemna, itd. na przemian, to w punkcie jest maksimum. Jeśli jest inaczej to nie można rozstrzygnąć czy dany punkt stacjonarny jest ekstremum funkcji. Za chwilę policzę te funkcje i zedytuje.
W pierwszym wypadku minimum w punkcie (-1,3), w drugim minimum w punkcie (0,0). W drugim licząc inną metodą można otrzymać maksimum w punkcie (-5/3,0), ale to już sobie znajdź jak liczyć.
Cytuj:
knight before knights napisał
Generowałeś to w wolframie? bo licząc na kartce za chu to samo nie wyjdzie
To jest prawda jedynie w przypadku gdy macierz drugiej pochodnej jest diagonalna, w przeciwnym razie to kłamstwo.Cytuj:
knight before knights napisał
Oczywiście, że można rozstrzygnąć, ale trzeba użyć bardziej subtelnych narzędzi.Cytuj:
knight before knights napisał
Czy mam rozumieć, że zależnie od naszego widzimisie możemy uzyskać różne wyniki? Albo znajdujesz wszystkie ekstrema i jest dobrze zrobione zadanie, albo nie znajdujesz wszystkich i jest do bani.Cytuj:
knight before knights napisał
Jak coś zjem to wyjaśnię co i jak.
A mnie uczono, ze po podstawieniu do macierzy, jesli wyznacznik jest wiekszy od 0 to istnieja ekstrema i jesliCytuj:
Wojtasman napisał
f''xx > 0 -> minimum
f''xx < 0 -> maksimum
Dla dwóch zmiennych to kryterium jest prawidłowe. Dla n zmiennych po prostu badamy określoność macierzy Hessego (co działa zawsze, w szczególności dla funkcji jednej zmiennej).Cytuj:
Pietrek napisał
Oczywiście chodziło mi o to, że tą metodą nie można tego rozstrzygnąć.Cytuj:
Xijeg napisał
Metodą, którą podałem można dojść tylko do tego, co napisałem. Żeby dostać to maksimum trzeba wykorzystać metodę, która jest w pierwszym czy drugim wyniku w google po wpisaniu "ekstremum funkcji dwóch zmiennych", więc jej nie opisywałem.Cytuj:
Xijeg napisał
Liczyłem w zeszycie.Cytuj:
Generowałeś to w wolframie? bo licząc na kartce za chu to samo nie wyjdzie
Chodzi o to, że jest diagonalizowalna, czy musi być diagonalna?Cytuj:
Xijeg napisał
jestem na drugim semestrze...matma mi się w sumie skończyła już (tylko egzamin) jednak nasz mega wykładowca nie zdążył omówić do końca tych funkcji dwóch zmiennych. Dostaliśmy pare wzorków...w sumie nic więcej niż to co napisał knight... licząc pochodne cząstkowe po iksach i igrekach, rozwiązując układ równań dostaje inne punkty...ale mniejsza z tym zaatakowałem bardziej całki i różniczki i myślę że jak nakreśle coś w tych funkcjach to zdam
Gdy jest diagonalna to na pewno jest dobrze. Generalnie to macierze symetryczne są zawsze diagonalizowalne (a macierze Hessego są zazwyczaj symetryczne), więc szczerze wątpię w istnienie jakiegoś kryterium korzystającego z diagonalizowalności i wartości na przekątnej.Cytuj:
knight before knights napisał