Bryła sztywna - zadania i problem

Siema. Nie będę owijać i od razu przechodzę do rzeczy. W 2 klasie LO dostaliśmy od nauczyciela kilka zadań z bryły sztywnej, uznane przez niego za zadanka na rozgrzewkę. Rozwiązywaliśmy je na lekcji, ale czeka mnie sprawdzian i powtarzam sobie kilka zadanek. Mam problem z zadaniem o treści:
Oblicz moment bezwładności rury względem jej osi symetrii, jeżeli masa rury wynosi m, jej promień wewnętrzny R1, a promień zewnętrzny R2.
Na lekcji robiliśmy to zadanie i z moich zapisek wynika, że wzór początkowy powinien wyglądać tak:
I = 0,5mR2^2 - 0,5mR1^2 = 0,5m(R2^2-R1^2)
gdy liczę tym sposobem, wszystko wychodzi zgodnie z rozwiązaniem podanym przez moją korepetytorkę tj. I = 0,5m(R2^2 - R1^2), lecz moje pytanie brzmi, dlaczego m zostało wyłączone przed nawias skoro we wzorze odejmujemy I dużego walca od I małego walca, w których masa się różni (przypominam m tj. masa rury, czyli walca dużego - walca małego)?
Spróbowałem obliczyć zadanie sposobem, w którym rozdzielam m na m1 i m2, czyli zastępuje I = 0,5mR2 - 0,5mR1 wzorem I = 0,5m2R2 - 0,5m1R1, lecz wynik jaki otrzymuje, to I = 0,5dPIh(R2^4 - R1^4). Która wersja jest prawidłowa i dlaczego? Przypominam, że w pierwszym rozwiązaniu I = 0,5dPIh(R2^2 - R1^2)(R2^2 - R1^2) = 0,5m(R2^2 - R1^2)
m pierścienia wyszło mi w pierwszym rozwiązaniu m = dPIh(R2^2 - R1^2)

@edit
Obliczyłem ro i h ze wzoru na m i wychodzi identyczny wynik jak w sposobie 1, wszystko się ładnie skraca, ale moje pytanie wciąż jest takie, który sposób jest prawidłowy? Wydaje mi się, że 2 jednak nauczyciel robił 1. Jak sądzicie?

Coś chyba pomieszałeś

jeżeli liczysz moment bezwładności z takich dwóch wzorów:
I = 0,5m(R2-R1)
I = 0,5m(R2^2 - R1^2)

to nie ma prawa Ci wyjść takie samo rozwiązanie. Prawidłowy jest drugi wzór - promienie wew. i zew. powinny być podniesione do kwadratu. Natomiast m jest wyłączone przed nawias, bo nie rozbijasz go na m1 i m2 - przy liczeniu momentu bezwładności rury jest tylko jedna masa, nie ma dwóch różnych.

Mój błąd, przy tych R powinien być kwadrat, natomiast odnoszę się tu do samego m, który wg. treści zadania jest masą rury tylko i wyłącznie, natomiast wg. sposobu mojego nauczyciela jest on masą zarówno walca całego, ale też taka sama jest masa tego wyciętego. Ogólnie problem polega na tym, że w 1 przypadku:

I = 0,5mR2^2 - 0,5mR1^2 = 0,5m(R2^2 - R1^2)

a w 2 przypadku

I = 0,5m2R2^2 - 0,5m1R1^2 = 0,5(m2R2^2 - m1R1^2)

Teraz rozumiesz @Minsafo ; o co mi chodzi? Promienie w obu przypadkach są do kwadratu, jednak mój nauczyciel przyjął przynajmniej z tego co wynika masę rury + masę walca wyciętego za taką samą, gdzie w treści zadania jest, że m to masa samej rury. W 2 sposobie użyłem m1 i m2 w przeciwieństwie do pierwszego, gdzie m1 = m2 = m. Który jest poprawny i zgodny z treścią zadania?

Źle patrzysz na to zadanie. Jeśli treść jest taka:

Cytuj:

---

Oblicz moment bezwładności rury względem jej osi symetrii, jeżeli masa rury wynosi m, jej promień wewnętrzny R1, a promień zewnętrzny R2.

---

to tu nie ma żadnego walca - jest tylko rura. Walec ma to do siebie, że jest w środku całkowicie wypełniony - jeżeli zaś bryła jest w środku choćby częściowo pusta, to mamy wówczas doczynienia z rurą o określonej masie. Powietrza w środku w ogóle nie bierzesz pod uwagę, nie uwzględniasz jego masy - nie ma zatem m1 (masy tego, co między promieniem zewnętrznym a wewnętrznym) i m2 (wewnątrz wewnętrznego promienia), jest tylko m będące masą rury.

@Minsafo ;
Czyli wg. Ciebie jak powinno być rozwiązane zadanie? Mój nauczyciel tłumaczył nam, że rura to walec - inny walec, nazwijmy go wyciętym i tak właśnie trzeba zrobić to zadanie. Rozumiem, że jeżeli mam użyć tylko jednej masy to wg. Ciebie wzór I = 0,5mR2^2 - 0,5mR1^2 = 0,5m(R2^2 - R1^2) jest prawidłowy? Jeżeli tak to dlaczego do jasnej cholery używamy tej samej masy skoro promienie są inne i ona no logicznie nie może być ta sama? Jeżeli nie to jak wygląda krok po kroku to zadanie? Mój nauczyciel używał w/w wzoru + liczył m2 - m1 = m ze wzoru na gęstość i podstawił. Wynik końcowy o dziwo był taki sam jak w/w wzór.

Pardon, w poprzednim poście się pomyliłem - myślałem o jednym, chciałem napisać drugie i w efekcie wyszedł mi jakiś misz-masz. Olej go, weź pod uwagę tylko to, co pisze teraz - spróbuję krok po kroku wyjaśnić jak do tego zadania należy podejść


Zatem po kolei:
zasadniczo moment bezwładności grubościennej rury to różnica między momentem bezwładności pełnego walca, a częścią wyciętą, czyli:
(1) I = I₁ - I₂

zarówno I₁ jak i I₂ są walcami, a moment bezwładności walca liczy się ze wzoru:
(2) I = 0,5*(mr²) - to jest wzór wzięty z tablic, można go niby wyprowadzić, ale to nieco wyższa szkoła jazdy i Tobie chyba niepotrzebna, więc sobie daruję

podstawiając (2) do (1) uzyskujemy coś takiego:
(2) I = 0,5*(MR²) - 0,5*(mr²)
gdzie M - masa pełnego walca, R - promień zewnętrzny, m - masa części wyciętej, r - promień wewnętrzny

masy są oczywiście różne i nam nieznane, więc odwołujemy się do wzoru na gęstość:
(4) ρ = m/v

z którego wynika, że masa pełnego walca to:
(5) M = V*ρ

a masa wyciętej części to:
(6) m = v*ρ

objętości są nam nieznane, więc w ich miejsce wstawiamy wzór na objętość walca uzyskując:
(7) M = ρ*π*R²*l
(8) m = ρ*π*r²*l

oba te wzory można teraz wstawić do równania (2) uzyskując:
(9) I = 0,5*(ρ*π*R⁴*l) - 0,5*(ρ*π*r⁴*l) = 0,5*ρ*π*l(R⁴-r⁴)

wracamy do gęstości - można zapisać, że:
(10) ρ = m_w / (V-v) = m_w / (π*R²*l - π*r²*l)
gdzie m_w to oczywiście masa rury, czyli tej tylko części, jaka nam została po wycięciu

tak rozumiane ρ można podstawić do wzoru (9) otrzymując:
(11) I = 0,5 * {[m_w*l*π*(R⁴-r⁴)]/[π*l(R² - r²)]}

π oraz l się oczywiście skracają, zaś nawias (R⁴-r⁴) z licznika można, przy użyciu wzoru skróconego mnożenia, rozbić na:
(12) (R²-r²)*(R²+r²)

w związku z czym fragment (R²-r²) również skróci się z tym, co w mianowniku, w wyniku czego zostaje takie równanie:

(13) I = 0,5*m_w * (R²+r²)


i to jest wyprowadzony wzór ostateczny, z którego liczy się moment bezwładności rury grubościennej

I o to mniej więcej mi chodziło! Zgodnie z tym co mi rozpisałeś, mój nauczyciel podał nam zły sposób rozwiązania tego zadania. Ja robiąc identycznym jak Twój zatrzymałem się na pkt. 9 i zastanawiałem się, z którego wzoru wyliczyć ro(gęstość) i h(wysokość) nie wpadłem po prostu na pkt 10. ale i tak odpowiedź, a nawet więcej uzyskałem. Dzięki Ci wielkie!